SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK HOMOGEN DENGAN METODE MATRIKS EKSPONENSIAL

Abstract

Dalam penelitian ini dibahas mengenai solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode matriks eksponensial. Langkah awal untuk menentukan solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen menggunakan metode matriks eksponensial adalah menentukan solusi homogen (𝑋𝑕 ) yang dimulai dengan mengubah sistem persamaan diferensial ke dalam bentuk 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝑔(𝑡) sehingga diperoleh matriks koefisien yang bersesuaian, kemudian menentukan nilai eigen dari matriks koefisien 𝐴 dan menentukan vektor eigen terkait dengan nilai eigennya. Selanjutnya, membentuk suatu matriks taksingular 𝑃 dari vektor-vektor eigen dan menentukan invers dari matriks 𝑃. Kemudian menentukan matriks diagonal 𝐷 dengan 𝐷 = 𝑃 ′𝐴𝑃 . Selanjutnya, dibentuk matriks eksponensial 𝑒 −1 𝐴𝑡 dengan rumus 𝑒 𝐴𝑡 𝐷𝑡 −1 = 𝑃𝑒 𝑃 , sehingga diperoleh solusi homogen dari sistem persamaan diferensial linear dengan 𝑋𝑕 = 𝑒 𝐶 . Langkah kedua adalah menentukan solusi partikular (𝑋𝑝 ) yang dimulai dengan menentukan matriks eksponensial 𝑒 𝐴𝑡 dan fungsi 𝑔(𝜏) lalu kemudian menentukan solusi partikular 𝑋𝑝 dengan 𝑋𝑝 = 𝑒 −𝐴𝜏 𝐴𝑡 −𝐴𝜏 𝑒 . 𝑔 𝜏 𝑑𝜏 . Langkah terakhir adalah menentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan menambahkan solusi homogen (𝑋𝑕 ) dengan solusi partikular (𝑋𝑝 ) yaitu 𝑋 = 𝑋𝑕 +𝑋𝑝 .

Kata Kunci: Sistem Persamaan Diferensial tak homogen, Diagonalisasi matriks, Matriks Eksponensial