ANALISISI BASIS METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DALAM MENENTUKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Abstract

Abstrak. Dalam Penelitian ini dibahas solusi sistem persamaan linear dengan analisis dekomposisi nilai singular yaitu salah satu metode penguraian sebuah matriks ke dalam tiga buah matriks. Proses menentukan solusi sistem persamaan linear menggunakan metode analisis dekomposisi nilai singular dimulai dengan mengubah sistem persamaan linear ke dalam bentuk 𝐴𝑋 = 𝐵 , kemudian matrikskoefisien 𝐴 dari system persamaan linear tersebut
diuraikan menggunakan langkah-langkah penyelesaian dekomposisi nilai singular, sehingga diperoleh𝐴 = 𝑈𝑆𝑉 . Dari hasil penguraian matriks 𝐴 diperoleh basis-basis ortonormal untuk 𝑅 𝐴 yaitu 𝑢1𝑢2, … , 𝑢𝑟 , dengan 𝑟 banyaknya rank dari matriks 𝐴. Selanjutnya ditentukan nilai proyeksi𝑅 𝐴 terhadap 𝐵(𝑝𝑟𝑜𝑦𝑅(𝐴)𝐵) dengan persamaan 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑅(𝐴)𝐵 = Dari hasil proyeksi tersebut akan dihasilkan dua kemungkinan yaitu 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑅(𝐴)𝐵 = 𝐵 dan 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑅(𝐴)𝐵 ≠ 𝐵. Apabila sistem persamaan linear 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑅(𝐴)𝐵 = 𝐵 maka sistem persaman linear tersebut mempunyai solusi. Solusi dari sistem persamaan linear tersebut dapat diselesaikan menggunakan persamaan 𝑥 = ... untuk 𝑁(𝐴) = 𝟎 , dan menggunakan persamaan  𝑥 =  untuk 𝑁(𝐴) ≠ 𝟎. Namun apabila sistem persamaan linear  dengan 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑅(𝐴)𝐵  ≠ 𝐵 maka sistem tersebut tidak mempunyai solusi, tetapi sistem persamaan linear dapat ditentukan solusi pendekatan terbaik dengan menggunakan persamaan 𝑥 = 𝑣𝑘 .Dengan menggunakan analisis dekomposisi nilai singular, solusi dari persamaan  selalu dapat diselesaikan meskipun matriks koefisien yang terbentuk bukanlah matriks bujursangkar atau matriks bujursangkar yang tidak mempunyai invers.

Kata kunci:  Dekomposisi Nilai Singular, Basis Ortonormal, Matriks , Nilai Eigen Vektor Eigen